26 de dezembro de 2016 d.C., Festa de Santo Estêvão

 

Derivei fórmulas gerais para multiplicação, divisão, potências e logaritmos para as Constantes Transcendentais.

Adição e subtração são mais difíceis de derivar; isso foi feito apenas parcialmente.

As constantes transcendentais têm sua maneira única de cálculos, ou seja, elas usam o que eu chamo de, Índice Matemática .

 

Isso significa que índices (subscritos) das constantes fornecidas são usados para calcular novos valores de multiplicação, divisão, potências e logaritmos, possivelmente integrais e derivadas.

Começarei com exemplos simples para que seja mais fácil de entender e depois derivarei as fórmulas gerais.

 

1. Por exemplo, a multiplicação de duas constantes pode ser descrita da seguinte forma :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² (Eq. 1)

 

Então, em um exemplo concreto, digamos

C _m = C ₈ = π = 3,141 592 654...

E

C _n = C ₇ = e = 2,718 281 828...

Então

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654... × 2,718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Agora,

( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² = ( C _{( 8 + 7⁄2)} ) ² = ( C _{( 15⁄2)} ) ² = ( C _7,5 ) ²

 

Usando a fórmula Eq. 11 do "Livro 1 - Constantes Transcendentais - Introdução".

podemos calcular qualquer valor de constante com índice real, como segue:

 

FT(x) = ( C ₀ ) × (π/ e) ^x (Eq. 2)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

Elevando ao quadrado obtemos

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

O erro relativo é

ε = -0,000 000 001

ou seja, erro mínimo (se houver) - os cálculos são feitos em uma calculadora portátil.

 

2. Adicionando potências à fórmula para multiplicação de duas constantes (Eq. 1)

 

dá:

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q = [ C _{( p × m + q × n) ⁄ p + q )} ] ^{( p + q )} (Eq. 3)

 

Vamos usar o exemplo anterior com alguns poderes adicionais:

( C ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( C ₇ ) ³ = ( C _{( (0,25 × 8 + 3 × 7)⁄ 0,25 + 3)} ) ^{0,25 + 3}

Lado esquerdo é igual a

= 26.740 585 61...

 

E o lado direito (novamente, usando a equação 2) é

= ( C _23⁄3,25 ) ^3,25 = (2,748 713 730) ^3,25 = 26,740 585 57...

 

Erro relativo

ε = 0,000 000 001

 

3. A fórmula geral para multiplicação de quaisquer potências e números de fatores .

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z = (Eq.4)

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (Eq. 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( Eq.4b)

 

Na (Eq. 4a) p + q + r +...+ z ≠ 0; então a (Eq. 4b) é muito mais robusta.

 

Exemplo da última fórmula para três fatores e três potências com um índice igual a "0"; (exceção: para que funcione, 2X0 deve ser igual a 2).

 

( C ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( C ₇ ) ^{− 3} × ( C ₀ = 0,986976350...) ² = 0,064 568 027...

 

A segunda parte da fórmula geral fornece

( C _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( C _25,3333 ) ^{− 0,75} =

Usando a Eq.2 para calcular C _25,3333 obtemos

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

A terceira parte da fórmula geral fornece

( C _{( 0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C ₀ ) ^{( 0,25 − 3 + 2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1,75} =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Então, todos os três resultados são os mesmos.

 

4. A fórmula geral para o logaritmo dos produtos e potências .

 

Não há muito o que fazer. Mas, tomando os logaritmos da Equação 4, obtemos:

 

ln[( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × … × ( C _x ) ^z ] = (Eq. 5)

 

= p × ln( C _m )+ q × ln( C _n )+ r × ln( C _o )+… + z × ln( C _x ) = (Eq. 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ⁄ p + q + r + ... + z )} ) = (Eq. 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} )+ [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C ₀ )( Eq.5c)

 

Novamente, na (Eq. 5b) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Multiplicação da potência e índice da constante com índice igual a “0”; (exceção: para que funcione (“potência” ou “índice”) X 0 deve ser igual à potência ou índice diferente de 0).

 

5. Divisão de duas constantes .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M+n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} (Eq. 6)

 

por exemplo, C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1,155 727 350...

 

Agora, usando (Eq. 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄ ( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C _{− 1} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} = (0,853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0,986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350...

 

Os valores das constantes são da seção do Blog “Tabela de Constantes Transcendentais...”

 

Mesmos resultados.

 

6. Divisão de duas constantes com potências .

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (Eq. 7)

 

= ( C _{(( − P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (Eq. 7a)

= ( C _{( − P × M + q × n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − ( P − q ))} ( Eq. 7b)

 

por exemplo, da (Eq. 7): ( C ₈ ) ^2,5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0,5} = ( π ) ^2,5 ⁄( e ) ^{− 0,5} = 28,841 770 89...

Da (Eq. 7a): ( C _{(( − 2,5 × 8 − 0,5 × 7)⁄ − 2,5 − 0,5 )} ) ^{( 2,5 − ( − 0,5 ))} =

= ( C _{( − 20 − 3,5⁄ − 3)} ) ³ = ( C _7,8333 ) ³

 

Usando (Eq. 2) para calcular este resultado:

 

Da fórmula geral da Função Transcendental:

 

TF( 7,8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7,8333 = 3,066 718 931...

 

E da equação 7a:

 

( C _7,8333 ) ³ = (3,066 718 931...) ³ = 28,841 770 86...

 

De (Eq. 7b):

 

( C _{( − 2,5 × 8 − 0,5 × 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − (2,5 + 0,5 ))} =

= ( C _{− 23,5} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 4} =

 

Usando (Eq. 2) para calcular este resultado:

 

TF( -23,5) = (0,986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23,5} = 0,032 900 694...

 

Agora:

 

( C _{− 23,5} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 4} = (0,032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30.394 495 37...) ÷ (1.053 835 963...) = 28.841 770 86...

 

ou seja, o mesmo resultado.

 

7. Fórmula geral para divisão com qualquer número de fatores e quaisquer potências .

 

(( C _M ) ^P × ( C _N ) ^Q × ( CO ₎ ^R × ...  × ( C _X ) ^Z ) ÷ (( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z ) = (Eq. 8)

 

= ( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (Eq.8a) =

( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{[ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( Equação 8b)

 

(Eq. 8a) tem uma limitação, como antes, com potências ou índices iguais a "0".

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Logaritmos .

 

Obtemos equações semelhantes às (Eq. 5a, 5b e 5c), tomando o logaritmo em ambos os lados.

É muito tedioso escrever isso aqui.

 

Comentários :

 

Em todas essas fórmulas do Index Math, a constante C ₀ = 0,986 976 350... parece ser de extrema importância, como se todas as outras constantes pudessem ser calculadas com essa constante C _{0 específica} mais C ₈ = π e C ₇ = e.

 

Aqui estão os links relacionados a esses artigos

 

1. Função Transcendental Universal e Constantes Transcendentais Universais derivadas de " π " e "e" >>> https://luxdeluce.com/394-181-4a-livro-1-b-funcao-transcendental-universal-e-universal-constantes-transcendentais-derivadas-de-ee.html

 

 

2. Tabela de Constantes Transcendentais Descendentes >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Tabela atualizada de constantes transcendentais subindo >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Índice Matemática – uma Propriedade das Constantes Transcendentais >>> https://luxdeluce.com/487-274-9-livro-2-b-algumas-propriedades-da-funcao-transcendental.html