26 décembre 2016 après J.-C., fête de saint Étienne

 

J'ai dérivé des formules générales pour la multiplication, la division, les puissances et les logarithmes des constantes transcendantes.

L'addition et la soustraction sont plus difficiles à obtenir ; elles n'ont été réalisées que partiellement.

Les constantes transcendantales ont leur propre méthode de calcul, c'est-à-dire qu'elles utilisent ce que j'appelle, Index Mathématiques .

 

Cela signifie que les index (indices) des constantes données sont utilisés pour calculer de nouvelles valeurs de multiplication, de division, de puissances et de logarithmes, éventuellement des intégrales et des dérivées.

Je commencerai par des exemples simples pour que ce soit plus facile à comprendre, puis je dériverai les formules générales.

 

1. Par exemple, la multiplication de deux constantes peut être décrite comme suit :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² (Éqn. 1)

 

Alors, dans un exemple concret, disons

C _m = C ₈ = π = 3,141 592 654...

Et

C _n = C ₇ = e = 2,718 281 828...

Alors

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654... × 2,718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Maintenant,

( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² = ( C _{( 8 + 7⁄2)} ) ² = ( C _{( 15⁄2)} ) ² = ( C _7,5 ) ²

 

En utilisant la formule Éqn. 11 du « Livre 1 - Constantes transcendantales - Introduction ».

nous pouvons calculer n'importe quelle valeur de constante avec un indice réel, comme suit :

 

FT(x) = ( C ₀ ) × (π/ e) ^x (Éqn. 2)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

En mettant au carré ce que nous obtenons

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

L'erreur relative est

ε = -0,000 000 001

c'est-à-dire une erreur minimale (voire inexistante) - les calculs sont effectués sur une calculatrice portable.

 

2. Ajout de puissances à la formule de multiplication de deux constantes (Éqn. 1)

 

donne :

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q = [ C _{( p × m + q × n) ⁄ p + q )} ] ^{( p + q )} (Éqn. 3)

 

Reprenons l’exemple précédent avec quelques puissances supplémentaires :

( C ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( C ₇ ) ³ = ( C _{( (0,25 × 8 + 3 × 7)⁄ 0,25 + 3)} ) ^{0,25 + 3}

Le côté gauche est égal à

= 26.740 585 61...

 

Et le côté droit (encore une fois, en utilisant l'équation 2) est

= ( C _23⁄3,25 ) ^3,25 = (2,748 713 730) ^3,25 = 26,740 585 57...

 

Erreur relative

ε = 0,000 000 001

 

3. La formule générale de multiplication pour n'importe quelle puissance et n'importe quel nombre de facteurs .

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z = (Éqn.4)

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (Éqn. 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( Éqn.4b)

 

Dans (Eqn. 4a) p + q + r +...+ z ≠ 0 ; donc (Eqn. 4b) est beaucoup plus robuste.

 

Exemple de la dernière formule pour trois facteurs et trois puissances avec un indice égal à « 0 » ; (exception : pour que cela fonctionne, 2X0 doit être égal à 2).

 

( C ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( C ₇ ) ^{− 3} × ( C ₀ = 0,986976350...) ² = 0,064 568 027...

 

La deuxième partie de la formule générale donne

( C _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( C _25,3333 ) ^{− 0,75} =

En utilisant l'équation 2 pour calculer C _25,3333, nous obtenons

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

La troisième partie de la formule générale donne

( C _{( 0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C ₀ ) ^{( 0,25 − 3 + 2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1,75} =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Donc, les trois résultats sont les mêmes.

 

4. La formule générale du logarithme des produits et des puissances .

 

Ce n'est pas très compliqué. Mais en prenant les logarithmes de l'équation 4, on obtient :

 

ln[( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × … × ( C _x ) ^z ] = (Éqn. 5)

 

= p × ln( C _m )+ q × ln( C _n )+ r × ln( C _o )+… + z × ln( C _x ) = (Éqn. 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ⁄ p + q + r + ... + z )} ) = (Éqn. 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} )+ [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C ₀ )( Éqn.5c)

 

Encore une fois, dans (Eqn. 5b) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Multiplication de la puissance et de l'indice de la constante d'indice égal à « 0 » ; (exception : pour que cela fonctionne (« puissance » ou « indice ») X 0 doit être égal à la puissance ou l'indice différent de 0).

 

5. Division de deux constantes .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M+n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} (Éqn. 6)

 

par exemple, C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1,155 727 350...

 

Maintenant, en utilisant (Eqn. 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C _{− 1} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} = (0,853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0,986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350...

 

Les valeurs des constantes proviennent de la section Blog « Tableau des constantes transcendantes... »

 

Mêmes résultats.

 

6. Division de deux constantes avec des puissances .

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (Éq. 7)

 

= ( C _{(( − P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (Éqn. 7a)

= ( C _{( − P × M + q × n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − ( P − q ))} ( Éqn. 7b)

 

par exemple, à partir de (équation 7) : ( C ₈ ) ^2,5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0,5} = ( π ) ^2,5 ⁄( e ) ^{− 0,5} = 28,841 770 89...

De (Éqn. 7a) : ( C _{(( − 2,5 × 8 − 0,5 × 7)⁄ − 2,5 − 0,5 )} ) ^{( 2,5 − ( − 0,5 ))} =

= ( C _{( − 20 − 3,5⁄ − 3)} ) ³ = ( C _7,8333 ) ³

 

En utilisant (Eqn. 2) pour calculer ce résultat :

 

D'après la formule générale de la fonction transcendantale :

 

TF( 7,8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7,8333 = 3,066 718 931...

 

Et à partir de l'équation 7a :

 

( C _7,8333 ) ³ = (3,066 718 931...) ³ = 28,841 770 86...

 

De (Éqn. 7b) :

 

( C _{( − 2,5 × 8 − 0,5 × 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − (2,5 + 0,5 ))} =

= ( C _{− 23,5} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 4} =

 

En utilisant (Eqn. 2) pour calculer ce résultat :

 

TF( -23,5) = (0,986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23,5} = 0,032 900 694...

 

Maintenant:

 

( C _{− 23,5} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 4} = (0,032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

c'est-à-dire le même résultat.

 

7. Formule générale de division avec un nombre quelconque de facteurs et de puissances quelconques .

 

(( C _M ) ^P × ( C _N ) ^Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( C _X ) ^Z ) ÷ (( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z ) = (Éqn. 8)

 

= ( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (Éqn.8a) =

( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{[ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( Éqn. 8b)

 

(Eqn. 8a) a une limitation, comme précédemment, avec des puissances ou des indices égaux à « 0 ».

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Logarithmes .

 

Nous obtenons des équations similaires à (Éqn. 5a, 5b et 5c), en prenant le logarithme des deux côtés.

C'est trop fastidieux de l'écrire ici.

 

Commentaires :

 

Dans toutes ces formules mathématiques d'index, la constante C ₀ = 0,986 976 350... semble être de la plus haute importance, comme si toutes les autres constantes pouvaient être calculées avec cette constante particulière C ₀ plus C ₈ = π et C ₇ = e.

 

 

Voici les liens liés à ces articles

 

1. Fonction transcendantale universelle et constantes transcendantales universelles dérivées de « π » et « e » >>> https://luxdeluce.com/390-177-4a-livre-1-b-fonction-transcendantale-universelle-et-universelle-constantes-transcendantales-derivees-de-et-e.html

 

2. Tableau des constantes transcendantales descendantes >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Tableau mis à jour des constantes transcendantales en hausse >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Index Mathématiques – une propriété des constantes transcendantes >>> https://luxdeluce.com/491-278-9-livre-2-b-quelques-proprietes-de-la-fonction-transcendantale.html