Ngày 26 tháng 12 năm 2016 CN, Lễ Thánh Stêphanô

 

Tôi đã suy ra các công thức chung cho phép nhân, phép chia, lũy thừa và logarit của các hằng số siêu việt.

Phép cộng và phép trừ khó thực hiện hơn; nó chỉ được thực hiện một phần.

Hằng số siêu việt có cách tính toán độc đáo của chúng, tức là chúng sử dụng cái mà tôi gọi là, Mục lục Toán học .

 

Điều này có nghĩa là các chỉ số (chỉ số dưới) của các hằng số cho trước được sử dụng để tính các giá trị mới của phép nhân, phép chia, lũy thừa và logarit, có thể là tích phân và đạo hàm.

Tôi sẽ bắt đầu bằng những ví dụ đơn giản để bạn dễ hiểu hơn và sau đó đưa ra các công thức tổng quát.

 

1. Ví dụ, phép nhân hai hằng số có thể được mô tả như sau :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² (Phương trình 1)

 

Vì vậy, trong một ví dụ cụ thể, chúng ta hãy nói

C _m = C ₈ = π = 3,141 592 654...

Và

C _n = C ₇ = e = 2,718 281 828...

Sau đó

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654... × 2,718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Hiện nay,

( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² = ( C _{( 8 + 7⁄2)} ) ² = ( C _{( 15⁄2)} ) ² = ( C _7.5 ) ²

 

Sử dụng công thức Phương trình 11 từ "Quyển 1 - Hằng số siêu việt - Giới thiệu."

chúng ta có thể tính toán bất kỳ giá trị nào của hằng số có chỉ số thực như sau:

 

FT(x) = ( C ₀ ) × (π/ e) ^x (Phương trình 2)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

Bình phương mà ta có được

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

Sai số tương đối là

ε = -0,000 000 001

tức là, sai số tối thiểu (nếu có) - các phép tính được thực hiện trên máy tính cầm tay.

 

2. Thêm lũy thừa vào công thức nhân hai hằng số (Phương trình 1)

 

cung cấp:

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q = [ C _{( p × m + q × n) ⁄ p + q )} ] ^{( p + q )} (Phương trình 3)

 

Chúng ta hãy sử dụng ví dụ trước với một số quyền hạn bổ sung:

( C ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( C ₇ ) ³ = ( C _{( (0,25 × 8 + 3 × 7)⁄ 0,25 + 3)} ) ^{0,25 + 3}

Bên trái bằng

= 26,740 585 61...

 

Và phía bên phải (một lần nữa, sử dụng phương trình 2) là

= ( C _23⁄3.25 ) ^3.25 = (2.748 713 730) ^3.25 = 26.740 585 57...

 

Lỗi tương đối

ε = 0,000 000 001

 

3. Công thức chung để nhân mọi lũy thừa và số ước .

 

( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z = (PT4)

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (Phương trình 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( Phương trình 4b)

 

Trong (Phương trình 4a) p + q + r +...+ z ≠ 0; do đó (Phương trình 4b) mạnh mẽ hơn nhiều.

 

Ví dụ về công thức cuối cùng cho ba ước số và ba lũy thừa có một chỉ số bằng "0"; (ngoại lệ: để công thức này hoạt động, 2X0 phải bằng 2).

 

( C ₈ ) ^{1⁄ 4} × ( C ₇ ) ^{− 3} × ( C ₀ = 0,986976350...) ² = 0,064 568 027...

 

Phần thứ hai của công thức chung đưa ra

( C _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( C _25,3333 ) ^{− 0,75} =

Sử dụng phương trình 2 để tính C _25,3333 ta có

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

Phần thứ ba của công thức chung đưa ra

( C _{( 0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C ₀ ) ^{( 0,25 − 3 + 2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1,75} =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Vì vậy, cả ba kết quả đều giống nhau.

 

4. Công thức tổng quát cho logarit của tích và lũy thừa .

 

Chẳng có gì nhiều. Nhưng, lấy logarit của Phương trình 4, ta có:

 

ln[( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × … × ( C _x ) ^z ] = (Phương trình 5)

 

= p × ln( C _m )+ q × ln( C _n )+ r × ln( C _o )+… + z × ln( C _x ) = (PT 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ⁄ p + q + r + ... + z )} ) = (Phương trình 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} )+ [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C ₀ )( Phương trình 5c)

 

Một lần nữa, trong (Phương trình 5b) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Nhân lũy thừa và số hạng của hằng số có số hạng bằng “0”; (ngoại lệ: để thực hiện được phép nhân (“lũy thừa” hoặc “số hạng”) thì X 0 phải bằng lũy thừa hoặc số hạng không bằng 0).

 

5. Phép chia của hai hằng số .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _{(- M+n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} (Phương trình 6)

 

ví dụ: C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1,155 727 350...

 

Bây giờ, sử dụng (Phương trình 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C _{− 1} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} = (0,853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0,986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350...

 

Giá trị của hằng số được lấy từ mục Blog “Bảng hằng số siêu việt...”

 

Kết quả tương tự.

 

6. Phép chia hai hằng số có lũy thừa .

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (Phương trình 7)

 

= ( C _{(( − P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (Phương trình 7a)

= ( C _{( − P × M + q × n )} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − ( P − q ))} ( Phương trình 7b)

 

ví dụ, từ (Phương trình 7): ( C ₈ ) ^2,5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0,5} = ( π ) ^2,5 ⁄( e ) ^{− 0,5} = 28,841 770 89...

Từ (Phương trình 7a): ( C _{(( − 2,5 × 8 − 0,5 × 7)⁄ − 2,5 − 0,5 )} ) ^{( 2,5 − ( − 0,5 ))} =

= ( C _{( − 20 − 3,5⁄ − 3)} ) ³ = ( C _7,8333 ) ³

 

Sử dụng (Phương trình 2) để tính kết quả này:

 

Từ công thức tổng quát của hàm siêu việt:

 

TF( 7,8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7,8333 = 3,066 718 931...

 

Và từ phương trình 7a:

 

( C _7,8333 ) ³ = (3,066 718 931...) ³ = 28,841 770 86...

 

Từ (Phương trình 7b):

 

( C _{( − 2,5 × 8 − 0,5 × 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{( − 1 − (2,5 + 0,5 ))} =

= ( C _{− 23,5} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 4} =

 

Sử dụng (Phương trình 2) để tính kết quả này:

 

TF( -23,5) = (0,986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23,5} = 0,032 900 694...

 

Hiện nay:

 

( C _{− 23,5} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 4} = (0,032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

tức là kết quả giống nhau.

 

7. Công thức chung để chia với bất kỳ số ước và bất kỳ lũy thừa nào .

 

(( C _M ) ^P × ( C _N ) ^Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( C _X ) ^Z ) ÷ (( C _m ) ^p × ( C _n ) ^q × ( C _o ) ^r × ... × ( C _x ) ^z ) = (Phương trình 8)

 

= ( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (PT8a) =

( C _{(( − P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{[ − 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( Phương trình 8b)

 

(Phương trình 8a) có một giới hạn, như trước, với các lũy thừa hoặc chỉ số bằng "0".

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Logarit .

 

Ta có được các phương trình tương tự như (Phương trình 5a, 5b và 5c), lấy logarit ở cả hai vế.

Viết ở đây thì dài dòng quá.

 

Bình luận :

 

Trong tất cả các công thức Toán học Index này, Hằng số C ₀ = 0,986 976 350... dường như có tầm quan trọng tối đa, như thể tất cả các hằng số khác đều có thể được tính bằng Hằng số C _{0 cụ thể này} cộng với C ₈ = π và C ₇ = e.

 

 

Dưới đây là các liên kết liên quan đến các bài viết này

 

1. Hàm siêu việt phổ quát và hằng số siêu việt phổ quát bắt nguồn từ " π " và "e" >>> https://luxdeluce.com/515-302-4-ch-c-nang-sieu-vi-t-ph-quat-va-h-ng-s-sieu-vi-t-ph-quat-bt-ngu-nt-va-e.html

 

 

2. Bảng các hằng số siêu việt đi xuống >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Bảng cập nhật các hằng số siêu việt tăng dần >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Mục lục Toán học – Một tính chất của hằng số siêu việt >>> https://luxdeluce.com/516-303-9-mts-tinh-ch-tca-ham-sieu-vi-t.html