26 грудня 2016 року, свято Святого Стефана

 

Я вивів загальні формули для множення, ділення, степенів та логарифмів для трансцендентних констант.

Додавання та віднімання складніше вивести; це було зроблено лише частково.

Трансцендентальні константи мають свій унікальний спосіб обчислення, тобто вони використовують те, що я називаю, Індексна математика .

 

Це означає, що індекси (нижні індекси) заданих констант використовуються для обчислення нових значень множення, ділення, степенів та логарифмів, можливо, інтегралів та похідних.

Я почну з простих прикладів, щоб було легше зрозуміти, а потім виведу загальні формули.

 

1. Наприклад, множення двох констант можна описати так :

 

C _m × C _n = ( C _{( m + n )⁄ 2} ) ² (рівняння 1)

 

Отже, на конкретному прикладі, скажімо

C _m = C ₈ = π = 3,141 592 654...

І

Cn = C7 = e = 2,718 281 _{828 ...}

Тоді

C ₈ × C ₇ = π × e = 3,141 592 654... × 2,718 281 828... = 8,539 734 223...

 

Тепер,

( C _{( m + n )⁄2 )} 2 ⁼ ( C _{( 8 + 7⁄2)} ⁾ 2 ⁼ ( C _{( 15⁄2)} ) ² = ( C7,5 ₎ 2

 

Використовуючи формулу (рівняння 11) з "Книги 1 - Трансцендентальні константи - Вступ".

Ми можемо обчислити будь-яке значення константи з дійсним індексом наступним чином:

 

FT(x) = ( C0 ₎ × (π/ e) ^x (рівняння 2)

 

FT( 7,5) = (0,986 976 350...) × ( 1,155 727 350...) ^7,5 = 2,922 282 364...

Зведення в квадрат, яке ми отримуємо

(2,922 282 364...) ² = 8,539 734 216...

 

Відносна похибка становить

ε = -0,000 000 001

тобто мінімальна похибка (якщо взагалі є) – розрахунки проводяться на ручному калькуляторі.

 

2. Додавання степенів до формули множення двох констант (рівняння 1)

 

дає:

 

( Cm ) ^p × ( Cn ₎ ^q = [ ^C ( _p × _{m + q × n ) ⁄p + q ) ] (} ^{p +} q ⁾ ₍ рівняння 3 ⁾

 

Використаємо попередній приклад з деякими додатковими степенями:

( C8 ₎ ^1⁄4 × ( C7 ) ³ = ( _C ( ₍ 0,25 ^× _{8 + 3 × 7)⁄0,25 + 3)} ) ^{0,25 + 3}

Ліва частина дорівнює

= 26,740 585 61...

 

А права частина (знову ж таки, використовуючи рівняння 2) така:

= ( C _23⁄3,25 ) ^3,25 = (2,748 713 730) ^3,25 = 26,740 585 57...

 

Відносна похибка

ε = 0,000 000 001

 

3. Загальна формула множення для будь-яких степенів та кількості множників .

 

( Cm ) ^p × ( Cn ₎ ^q × ( Co) r _× ^... × ( _{Cx )} z = ⁽ рівняння 4 )

 

= [ C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄ ( p + q + r + ... + z )} ] ^{( p + q + r + ... + z )} = (рівняння 4a)

= ( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) × ( C ₀ ) ^{( p + q + r + ... + z − 1)} ( Рівняння 4b)

 

У (рівняння 4a) p + q + r +...+ z ≠ 0; тому (рівняння 4b) є набагато надійнішим.

 

Приклад останньої формули для трьох множників і трьох степенів з одним індексом, що дорівнює "0"; (виняток: щоб це спрацювало, 2X0 має дорівнювати 2).

 

( C8 ₎ ^{1⁄4 ×} ( C7 ₎ ^{− 3} × ( C0 ₌ 0,986976350 ... ) ² = 0,064 568 027 ...

 

Друга частина загальної формули дає

( C _{( (0,25 × 8 − 3 × 7 + 2 × 0)⁄ (0,25 − 3 + 2 )} ) ^{( 0,25 − 3 + 2)} = ( C _{= 25,3333} ) ^{− 0,75} =

Використовуючи рівняння 2 для обчислення C _25.3333, отримуємо

= (38,604 978 32...) ^{− 0,75} = 0,064 568 027...

 

Третя частина загальної формули дає

( C ₍ 0,25 _{× 8 − 3 × 7 + 2 × 0 )} ) × ( C0 ₎ ^{( 0,25 − 3 + 2 − 1)} =

= ( C _{− 19} ) × ( C ₀ ) ^{− 1,75} =

= (0,063 103 627...) × (1,023 206 273) = 0,064 568 027...

 

Отже, всі три результати однакові.

 

4. Загальна формула для логарифма добутків та степеня .

 

Тут небагато чого. Але, прологарифмувавши рівняння 4, ми отримуємо:

 

ln[( Cm)p × (Cn) q × ₍ ^Co ) r _× ^… × ( _Cx ⁾ z _] = ( ^{рівняння} 5 )

 

= p × ln( Cm ) + q × ln( Cn ₎ + r × ln( Co _{) + …} + z × ln( Cx ₎ = (рівняння 5a)

 

= ( p + q + r + … + z ) × ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ⁄p + q + r + ... + z )} ) = (рівняння 5b)

 

= ln( C _{( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )} ) + [( p + q + r + ... + z ) − 1] × ln( C0 )( рівняння _{5c )}

 

Знову ж таки, у (рівняння 5b) p + q + r +...+ z ≠ 0

 

Множення степеня та індексу константи з індексом, що дорівнює «0»; (виняток: щоб це спрацювало («степень» або «індекс»), X 0 має дорівнювати степеню або індекс не дорівнювати 0).

 

5. Ділення двох констант .

 

C _M ⁄ C _n = ( C _(- M _{+ n )} ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} (рівняння 6)

 

наприклад, C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = 1,155 727 350...

 

Тепер, використовуючи (рівняння 6)

 

C ₈ ⁄ C ₇ = π ⁄ e = ( C _{( − 8 + 7)} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} =

= ( C _{− 1} ) ^{− 1} ⁄( C ₀ ) ^{− 1} = (0,853 987 189...) ^{− 1} ÷ (0,986 976 350...) ^{− 1} =

= 1,155 727 350...

 

Значення констант взяті з розділу блогу «Таблиця трансцендентних констант...»

 

Ті ж результати.

 

6. Ділення двох констант зі степенями .

 

( C _M ) ^P ⁄( C _n ) ^q = (рівняння 7)

 

= ( C _{((− P × M + q × n) ⁄ − P + q )} ) ^{( P − q )} = (рівняння 7a)

= ( C _{(− P × M + q × n )} ) ^{− 1} / ₍ C0 ) ^{( −1 − ( P − q ))} ( рівняння 7b)

 

наприклад, з (рівняння 7): ( C ₈ ) ^2,5 ⁄( C ₇ ) ^{− 0,5} = ( π ) ^2,5 ⁄( e ) ^{− 0,5} = 28,841 770 89...

З (рівняння 7a): ( C _{((− 2,5 × 8 − 0,5 × 7)⁄ −2,5 − 0,5 )} ) ^{( 2,5 − ( −0,5 ))} =

= ( C _{( −20−3,5⁄−3)} ) ^³ ₌ ( C7,8333 ) ^³

 

Використовуючи (рівняння 2) для обчислення цього результату:

 

Зі загальної формули трансцендентальної функції:

 

TF( 7,8333) = ( C ₀ ) × ( π ⁄ e ) ^7,8333 = 3,066 718 931...

 

А з рівняння 7a:

 

( C _7,8333 ) ³ = (3,066 718 931...) ³ = 28,841 770 86...

 

З (рівняння 7b):

 

( C _{( −2,5 × 8−0,5 × 7)} ) ⁻¹ /( _C0 ) ( ^{− 1−(2,5 + 0,5 ))} =

= ( C _{− 23,5} ) ^{− 1} /⁄( C ₀ ) ^{− 4} =

 

Використовуючи (рівняння 2) для обчислення цього результату:

 

TF( -23,5) = (0,986976350...) × ( π ⁄ e ) ^{− 23,5} = 0,032 900 694...

 

Тепер:

 

( C _{− 23,5} ) ^{− 1} _/ ⁄( C0 ) ^{− 4} = (0,032 900 694...) ^{− 1} ÷ (0,986976350...) ^{− 4} =

(30,394 495 37...) ÷ (1,053 835 963...) = 28,841 770 86...

 

тобто, той самий результат.

 

7. Загальна формула ділення з будь-якою кількістю множників та будь-якими степенями .

 

(( С _М ) ^П × ( C _N ) ^Q × ( C _O ) ^R × ...  × ( CX ) ^Z ) ÷ (( _Cm ) p × ⁽ Cn ) _q ^× ( _Co ) ^r × ... × ( _Cx ) z ⁾ ₌ (рівняння 8 )

 

= ( C _{((− P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x )⁄( − P − Q − R − ... − Z ) + ( p + q + r + ... + z ) )} ) ^{[ ( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z )]} = (рівняння 8a) =

( С _{((− P × M − Q × N − R × O − ... − Z × X ) + ( p × m + q × n + r × o + ... + z × x ))} ) ^{− 1} /⁄( _C0 ) [ ^{− 1 − (( P + Q + R + ... + Z ) − ( p + q + r + ... + z ) )]} ( рівняння 8b)

 

(Рівняння 8a) має обмеження, як і раніше, зі степенями або індексами, що дорівнюють "0".

( − P − Q − R − ... − Z )+ ( p + q + r + ... + z ) ≠ 0

 

8. Логарифми .

 

Ми отримуємо рівняння, аналогічні до (рівняння 5a, 5b та 5c), логарифмуючи обидві сторони.

Занадто нудно писати це тут.

 

Коментарі :

 

У всіх цих формулах Index Math константа C0 = _0,986 976 350... здається надзвичайно важливою, ніби всі інші константи можна обчислити за допомогою цієї конкретної константи _C0 плюс C8 = _π та C7 ₌ e.

 

 

Ось посилання, пов'язані з цими статтями

 

1. Універсальна трансцендентальна функція та універсальні трансцендентальні константи, похідні від " π " та "e" >>> https://luxdeluce.com/517-304-4-e.html

 

 

2. Таблиця трансцендентальних констант (зниження) >>> https://luxdeluce.com/37-book-4a-table-of-transcendental-constants-going-down.html

 

 

3. Оновлена таблиця трансцендентальних констант >>> https://luxdeluce.com/38-book-4b-updated-table-of-transcendental-constants-going-up.html

 

 

4. Індексна математика – властивість трансцендентних констант >>> https://luxdeluce.com/518-305-9.html